Почему работает парадокс дней рождения?
Говорят, что в группе из 23 человек шанс совпадения дней рождения больше 50%. Это же парадокс дней рождения — почему так мало людей, ведь дней в году 365?
2 ответа
Парадокс дней рождения: уже в группе из 23 человек вероятность, что хотя бы у двоих совпадает день рождения, превышает 50%. Кажется невозможным, ведь дней 365.
В чём подвох. Интуиция подсказывает считать «сколько людей совпадает СО МНОЙ». Но вопрос другой — совпадение ЛЮБОЙ пары. А пар в группе очень много! Для 23 человек число пар:
C(23,2) = (23·22)/2 = 253 пары.
253 шанса на совпадение — это уже немало.
Как считать. Удобно через противоположное событие — «все дни разные»:
- 2 человека разные: 365/365 · 364/365;
- добавляем третьего: ещё · 363/365; и так далее.
Для 23 человек вероятность, что ВСЕ дни разные ≈ 0.49. Значит вероятность хотя бы одного совпадения ≈
1 − 0.49 = 0.51— больше половины.
Для 50 человек шанс совпадения уже ≈ 97%, а для 70 — больше 99.9%.
Мораль: растёт не число людей, а число ПАР — а оно растёт квадратично.
Маленькое уточнение, почему совпадение ищем у пары, а не «с тобой лично». Чтобы кто-то совпал именно с ТОБОЙ, нужно ≈ 253 человека для 50%. А вот совпадение любых двоих набирает 50% уже на 23, потому что каждая новая голова добавляет сравнения сразу со всеми предыдущими.