Что такое первообразная функции?

Первообразная функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть F'(x) = f(x).

Первообразная — это «обратный ход» к производной. Если дифференцирование идёт «вниз», то поиск первообразной — «вверх».

Пример: для f(x) = 2x первообразная F(x) = x², потому что (x²)' = 2x. Но также подходит x² + 5, x² − 7 — у всех производная 2x. Поэтому первообразных бесконечно много, они отличаются на константу: F(x) = x² + C.

Именно множество всех первообразных и записывают как неопределённый интеграл: ∫2x dx = x² + C.

Базовая таблица первообразных:

• для xⁿ → x^(n+1)/(n+1)
• для cos x → sin x
• для sin x → −cos x
• для 1/x → ln|x|
• для eˣ → eˣ

Проверить себя легко: продифференцируй найденную первообразную и убедись, что получилась исходная функция.

Частая ошибка: в формуле x^(n+1)/(n+1) забывать делить на новый показатель. Для x² первообразная x³/3, а не просто x³. Проверка: (x³/3)' = 3x²/3 = x² ✓.