Чем определённый интеграл отличается от неопределённого?
Запутался в терминах: в чём разница между определённым и неопределённым интегралом? Один с пределами, другой без, но что это меняет по сути?
1 ответ
Разница принципиальная: один даёт функцию, другой — число.
Неопределённый интеграл ∫f(x) dx — это поиск первообразной, то есть функции, чья производная равна f(x). Результат — семейство функций с константой C.
Пример: ∫2x dx = x² + C.
Определённый интеграл ∫(от a до b) f(x) dx — это число, равное площади под графиком от a до b. Пределы интегрирования a и b — это границы.
Связь между ними — формула Ньютона-Лейбница:
∫(от a до b) f(x) dx = F(b) − F(a),
где F — любая первообразная (F' = f). Константа C при вычитании сокращается, поэтому в ответе её нет.
Пример: ∫(от 1 до 3) 2x dx. Первообразная F(x) = x². Считаем: F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8. Это число — площадь под прямой y = 2x от 1 до 3.
Запомни: неопределённый → функция + C, определённый → число.
Частая ошибка: в определённом интеграле дописывать + C. Не нужно — при подстановке пределов константа взаимно уничтожается.