Что такое натуральный логарифм ln и чем он отличается?

Натуральный логарифм ln x — это логарифм по основанию e (число Эйлера, e ≈ 2.718). То есть ln x = log_e(x).

Запись ln x = c означает e^c = x. Примеры:

• ln(1) = 0, потому что e⁰ = 1;
• ln(e) = 1, потому что e¹ = e;
• ln(e²) = 2.

Чем отличается от обычного log:

• lg x (или log) — обычно по основанию 10;
• ln x — по основанию e. Все свойства логарифмов у ln те же самые (сумма, разность, степень).

Почему «натуральный»: основание e естественно возникает в задачах роста и в анализе. Главная причина — у ln x самая красивая производная: (ln x)' = 1/x. А у функции eˣ производная равна сама себе: (eˣ)' = eˣ. Из-за этого e и ln — родные для матанализа, в формулах с ними нет лишних множителей.

Частая ошибка: считать, что ln — по основанию 10. Нет, по основанию 10 это lg. У ln основание — e ≈ 2.718.