Что такое предел функции простыми словами?

Предел — это значение, к которому стремится функция, когда аргумент приближается к какой-то точке.

Идея: мы не спрашиваем «чему равна функция в точке», а спрашиваем «к чему она подходит, когда мы подбираемся всё ближе». Иногда это одно и то же, а иногда — нет.

Простой пример: f(x) = (x² − 1)/(x − 1). В точке x = 1 подставить нельзя — выходит 0/0. Но если сократить, f(x) = x + 1 для всех x ≠ 1. Когда x стремится к 1, функция стремится к 2. Записываем: lim(x→1) f(x) = 2, хотя в самой точке функция не определена.

Зачем нужен предел: на нём построено всё определение производной (f'(x) — это предел отношения приращений) и интеграла (предел суммы площадей полосок).

Аналогия: предел — это «куда ты придёшь», даже если в саму конечную точку зайти нельзя. Как асимптота, к которой график подходит вплотную, но не касается.

Частая ошибка: думать, что предел всегда равен значению функции в точке. Для непрерывных функций — да, но именно в «проблемных» точках предел и интересен.