Какие есть правила дифференцирования?

Есть четыре основных правила дифференцирования:

1. Сумма/разность: (u ± v)' = u' ± v'. Дифференцируем по частям.
2. Константа выносится: (c·u)' = c·u'. Например (5x²)' = 5·2x = 10x.
3. Произведение: (u·v)' = u'·v + u·v'.
4. Частное: (u/v)' = (u'·v − u·v') / v².

И ключевое — производная сложной функции (цепное правило): (f(g(x)))' = f'(g)·g'(x). Сначала производная «внешней» функции, потом умножить на производную «внутренней».

Пример на произведение: f(x) = x²·sin x. f'(x) = (x²)'·sin x + x²·(sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x.

Пример на цепное правило: f(x) = sin(3x). Внешняя — синус, внутренняя — 3x. f'(x) = cos(3x)·3 = 3·cos(3x).

Частая ошибка: считать, что (u·v)' = u'·v'. Это неверно! Производная произведения — сумма двух слагаемых, а не произведение производных.