math

Учебник Теория вероятностей через симуляции для начинающих

23 урока · 8 разделов · бесплатно, без регистрации

Начать с первого урока

Это курс теории вероятностей нового типа: мы не просто выводим формулы, а тут же проверяем их экспериментом. Каждый ключевой результат — закон больших чисел, формула Байеса, математическое ожидание, центральная предельная теорема — сопровождается короткой симуляцией Монте-Карло на чистом Python (модули random, math, itertools, statistics), которую можно запустить прямо в браузере и увидеть, как экспериментальное число сходится к теоретическому. Курс рассчитан на старшеклассников, студентов и самоучек, которые хотят не зазубрить, а понять и проверить. Вы научитесь читать вероятностные формулы, переводить их в код и доверять результату, потому что видели его своими глазами.

Курс «Теория вероятностей через симуляции» состоит из 8 разделов и 23 уроков: Что такое вероятность, Комбинаторика, Условная вероятность и формула Байеса, Случайные величины, ожидание и дисперсия, Распределения, Знаменитые парадоксы, Предельные теоремы и Прикладные модели. Уроки идут по порядку — от основ к более сложным темам, в каждом есть объяснение с примерами, а в конце — вопросы для самопроверки. К урокам привязаны задачи с автоматической проверкой: прочитали тему — сразу закрепили её кодом.

Программа курса

  1. 1 Что такое вероятность

    1. Вероятность как доля: частотный смысл

      Что такое вероятность с точки зрения частоты, как её оценить экспериментом и почему симуляция — честный способ проверить формулу.

    2. Закон больших чисел: сходимость частоты к p

      Закон больших чисел простыми словами: как частота события сходится к вероятности и как увидеть это сходимость в симуляции броска монеты.

    3. Симуляция событий: операции над вероятностями

      Сложение и умножение вероятностей, независимость и формула включений-исключений — с проверкой каждой формулы симуляцией.

  2. 2 Комбинаторика

    1. Правило умножения и перестановки

      Основное правило комбинаторики и факториал: сколько способов расставить объекты по порядку и как проверить число перестановок перебором.

    2. Размещения и сочетания: биномиальный коэффициент

      Размещения и сочетания из n по k, формула биномиального коэффициента C(n,k) и его проверка перебором комбинаций.

    3. Задачи подсчёта: парадокс дней рождения как пример

      Решаем комбинаторные задачи на вероятность через дополнение: классическая задача о совпадении дней рождения с точным расчётом и симуляцией.

  3. 3 Условная вероятность и формула Байеса

    1. Условная вероятность: когда известна часть истины

      Что такое условная вероятность P(A|B), как она пересчитывает шансы при новой информации и проверка определения симуляцией на кубике.

    2. Формула полной вероятности

      Формула полной вероятности: как собрать вероятность события из вкладов нескольких гипотез — с разбором на задаче о двух урнах и симуляцией.

    3. Формула Байеса: тест на болезнь

      Формула Байеса на примере медицинского теста: почему положительный результат при редкой болезни часто ложный, с точным расчётом и симуляцией.

  4. 4 Случайные величины, ожидание и дисперсия

    1. Случайная величина и математическое ожидание

      Что такое случайная величина и математическое ожидание E[X], как оно связано со средним и проверка формулы симуляцией для кубика.

    2. Дисперсия и стандартное отклонение

      Дисперсия Var(X) и стандартное отклонение: как измерить разброс случайной величины, формула через E[X^2] и проверка симуляцией.

    3. Линейность математического ожидания

      Линейность математического ожидания: почему E[X+Y]=E[X]+E[Y] даже для зависимых величин и как это решает сложные задачи — с симуляцией.

  5. 5 Распределения

    1. Бернулли и биномиальное распределение

      Распределение Бернулли и биномиальное распределение: формула P(X=k), ожидание np, дисперсия np(1-p) и подтверждающая симуляция.

    2. Геометрическое распределение и Пуассон

      Геометрическое распределение (ожидание 1/p) и распределение Пуассона для редких событий: формулы, ожидания и проверка симуляцией.

    3. Равномерное и нормальное распределения

      Непрерывные распределения: равномерное и нормальное (Гаусса). Плотность, правило трёх сигм и проверка симуляцией долей в интервалах.

  6. 6 Знаменитые парадоксы

    1. Парадокс Монти Холла

      Парадокс Монти Холла: почему смена двери удваивает шанс выигрыша до 2/3. Разбор через условную вероятность и подтверждающая симуляция.

    2. Разорение игрока

      Задача о разорении игрока: вероятность дойти до цели в честной и нечестной игре, формула и симуляция случайного блуждания капитала.

    3. Парадокс Симпсона

      Парадокс Симпсона: как тренд в группах меняется на противоположный при объединении данных. Числовой пример приёма и симуляция-агрегация.

  7. 7 Предельные теоремы

    1. Центральная предельная теорема

      Центральная предельная теорема: почему сумма многих независимых величин стремится к нормальному распределению. Гистограмма сумм равномерных в симуляции.

    2. Оценка числа π методом Монте-Карло

      Метод Монте-Карло для оценки числа пи через случайные точки в квадрате. Формула 4·(доля в круге), симуляция и анализ точности.

  8. 8 Прикладные модели

    1. Случайные блуждания

      Случайное блуждание на прямой: почему среднее смещение нулевое, а типичное расстояние растёт как корень из числа шагов. Симуляция и закон sqrt(n).

    2. Цепи Маркова и стационарное распределение

      Цепи Маркова: переходы между состояниями, матрица переходов и стационарное распределение. Численная оценка долгосрочных долей симуляцией.

    3. Оценка интегралов методом Монте-Карло

      Численное интегрирование методом Монте-Карло: интеграл как среднее значение функции на случайных точках. Формула, симуляция и сравнение с точным ответом.