Как GPS находит вас по сигналам спутников за 20 тысяч километров

Спутники не знают, где вы; они лишь хором сообщают точное время — а ваше положение телефон вычисляет сам по крошечным задержкам этих сигналов.

GPS определяет место по времени: каждый спутник шлёт сигнал с меткой точного времени, телефон считает, насколько тот задержался в пути, переводит задержку в расстояние и находит точку пересечения нескольких сфер.

Спутники — это летающие часы

Над нами кружат спутники навигации (в системе GPS — около тридцати на орбите высотой примерно 20 000 км). У каждого на борту атомные часы чудовищной точности — они врут меньше чем на секунду за миллионы лет. И главное, что делает спутник: непрерывно вещает в эфир сигнал, в котором закодировано «я спутник номер такой-то, сейчас ровно такое-то время, и вот где я нахожусь».

Сам спутник не знает и не интересуется, где вы. Он просто кричит в пространство точное время. Вся работа по поиску положения происходит в вашем приёмнике.

Расстояние из времени

Радиосигнал летит со скоростью света — около 300 000 километров в секунду. Телефон ловит сигнал спутника и сравнивает: время, записанное в сигнале, и время, когда сигнал пришёл. Разница — это сколько сигнал летел в пути.

Зная время полёта и скорость света, легко получить расстояние до спутника: расстояние равно скорости умножить на время. Если сигнал шёл, скажем, 0,07 секунды, значит спутник примерно в 21 000 километрах.

$$d = c \cdot t$$

Здесь $d$ — расстояние, $c$ — скорость света, $t$ — задержка сигнала. Поскольку $c$ огромна, даже наносекундные ошибки во времени превращаются в метры ошибки на земле — вот почему часы должны быть атомными.

Почему одного спутника мало

Допустим, телефон узнал, что до спутника A ровно 21 000 км. Это значит, что вы где-то на огромной сфере такого радиуса вокруг спутника A. Где именно — пока неясно.

Добавим спутник B: теперь вы на пересечении двух сфер — это окружность. Спутник C сузит выбор до двух точек, одна из которых обычно нелепа (где-то в космосе или глубоко под землёй), и её отбрасывают. Этот метод поиска точки по расстояниям до известных источников называется трилатерацией.

1 спутник  -> сфера (вы где-то на ней)
2 спутника -> окружность пересечения
3 спутника -> две точки, лишнюю отбрасываем
4 спутника -> + поправка часов телефона

Зачем нужен четвёртый

Теоретически трёх сфер хватило бы. Но есть загвоздка: у телефона нет атомных часов, его собственные часы неточны. А ведь вся арифметика держится на времени — малейшая ошибка часов приёмника испортит все расстояния сразу.

Здесь спасает четвёртый спутник. Он добавляет ещё одно уравнение, и теперь у телефона четыре уравнения на четыре неизвестных: три координаты (широта, долгота, высота) и поправка собственных часов. Решив систему, телефон не только находит место, но и подводит свои часы под атомную точность спутников. Поэтому GPS-приёмник заодно служит бесплатным сверхточным хронометром.

При чём тут Эйнштейн

Удивительно, но без теории относительности GPS врал бы на километры в день. Сразу два эффекта искажают ход спутниковых часов относительно земных:

Скорость движения по орбите чуть замедляет часы (специальная теория относительности), а более слабая гравитация на высоте — чуть ускоряет (общая теория). Второй эффект сильнее, и в сумме спутниковые часы убегают вперёд примерно на 38 микросекунд в сутки. Звучит ничтожно, но за день это дало бы ошибку около 10 километров. Поэтому часы спутников заранее подстроены с поправкой на относительность — иначе навигация была бы бесполезна.

Откуда берутся погрешности

Идеальную точность портят земные мелочи. Сигнал, проходя через ионосферу и тропосферу, чуть задерживается — и расстояние выходит слегка завышенным. В городе сигнал отражается от стен (многолучёвость), и приёмник ловит «эхо» вместо прямого луча — отсюда блуждание точки между домами.

Чтобы поднять точность с нескольких метров до сантиметров, применяют поправки: наземные станции с известными координатами измеряют текущую ошибку и рассылают её приёмникам. Так работают высокоточные режимы для геодезии и сельхозтехники.

Не только GPS

Сегодня телефон ловит сразу несколько систем: американскую GPS, российскую ГЛОНАСС, европейскую Galileo, китайскую BeiDou. Чем больше спутников видно, тем точнее и устойчивее результат, особенно среди высоток, где часть неба закрыта. А ещё телефон ускоряет поиск, подсматривая примерное положение по сотовым вышкам и Wi-Fi.

Итог

GPS — это триумф точного времени. Спутники-часы хором сообщают, который час, телефон по задержкам считает расстояния и пересекает сферы, четвёртый спутник чинит его собственные часы, а поправка Эйнштейна не даёт всему развалиться. Невидимая математика времени и пространства — и вот синяя точка уверенно стоит ровно там, где стоите вы.