Как находить период колебаний маятника и пружины на ЕГЭ?
В теме колебаний есть формулы периода для математического маятника и пружинного. Путаю их и не понимаю, от чего период зависит, а от чего нет. Как находить период колебаний маятника и пружинного маятника?
2 ответа
Две главные формулы периода — не перепутай, что внутри корня.
Математический маятник (груз на нити длиной L):
T = 2·π·√(L/g)
- Зависит от длины нити L и g.
- НЕ зависит от массы груза и амплитуды (при малых колебаниях).
Пружинный маятник (груз m на пружине жёсткостью k):
T = 2·π·√(m/k)
- Зависит от массы m и жёсткости k.
- НЕ зависит от g — поэтому работает одинаково на Земле и в космосе.
Связанные величины:
- Частота:
ν = 1/T(Гц). - Циклическая частота:
ω = 2·π/T = 2·π·ν.
Пример (маятник). L = 1 м, g = 10 м/с². T = 2·π·√(1/10) ≈ 6,28·0,316 ≈ 1,99 с.
Пример (пружина). m = 0,1 кг, k = 40 Н/м. T = 2·π·√(0,1/40) = 2·π·√0,0025 = 2·π·0,05 ≈ 0,31 с.
Частые ошибки:
- Меняют местами формулы (для маятника L/g, для пружины m/k).
- Думают, что период маятника зависит от массы — нет!
- Забывают, что чтобы период маятника вырос в 2 раза, длину надо увеличить в 4 раза (из-за корня).
- Не переводят в СИ (жёсткость в Н/м, масса в кг).
Подсказка про корень: раз период пропорционален квадратному корню, изменения «нелинейны». Удлинил нить в 4 раза → период в √4 = 2 раза больше. Хочешь удвоить период пружины → массу надо в 4 раза увеличить ИЛИ жёсткость в 4 раза уменьшить. Энергия колебаний: при пружинном маятнике полная энергия E = k·A²/2 (A — амплитуда), она переходит из потенциальной в кинетическую и обратно, а сумма постоянна.