Как решать задачу на числа и их свойства в ЕГЭ (задание 19 профиль)?
Задание 19 на свойства чисел — необычное, там нет стандартного алгоритма, надо что-то придумывать про делимость и суммы. Как подступиться к задаче 19 ЕГЭ по математике (числа и их свойства)? С чего вообще начинать?
2 ответа
Задание 19 — на сообразительность и теорию чисел, а не на формулы. Но есть набор приёмов, которые покрывают большинство задач.
Что надо знать:
- Признаки делимости: на 2 (чётное), на 3 и 9 (сумма цифр делится), на 5 (оканчивается на 0 или 5), на 10, на 11.
- Чётность: сумма чётного числа нечётных — чётна; произведение чётно, если есть хоть один чётный множитель.
- Среднее арифметическое: сумма n чисел = (среднее) · n. Часто это ключ к пункту «в».
- Сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ)/2 · n.
Структура задания: обычно три пункта.
- (а) «Может ли...?» — нужно либо привести пример (да), либо доказать, что нельзя.
- (б) «Может ли... при условии?» — чаще доказательство невозможности через чётность/делимость/оценку.
- (в) «Найдите наибольшее/наименьшее...» — оценка сверху/снизу + пример, что оценка достигается.
Главный приём для пунктов «б» и «в» — оценка + пример: докажи, что больше нельзя (оценка), и покажи конкретный набор, где это значение достигается. Без примера оценка не засчитывается.
Совет: в пункте «а» не доказывай долго — просто подбери пример и проверь его. Часто этого достаточно для первого балла, который реально взять.
Тактика по баллам: пункт «а» берётся почти всегда — там обычно надо привести один удачный пример. Это «бесплатный» балл, не пропускай 19 целиком.
Для пунктов «б»/«в» главный инструмент — чётность и делимость (доказать, что чего-то не может быть) и связка оценка + пример достижимости (для «найдите наибольшее»). Думай о сумме цифр, остатках от деления, среднем значении.