Как находить объём пирамиды, призмы и конуса в стереометрии ЕГЭ?
В заданиях по стереометрии путаю формулы объёмов: где делить на три, а где нет. Как находить объём пирамиды, призмы, конуса и шара в ЕГЭ? Соберите формулы и покажите на простом примере.
2 ответа
Запомни ключевое деление формул на две группы:
«Столбики» (призма, цилиндр, параллелепипед) — объём = площадь основания × высоту:
- Параллелепипед: V = a·b·c.
- Призма: V = S_осн · h.
- Цилиндр: V = π·r²·h.
«Острые» (пирамида, конус) — то же самое, но ÷ 3:
- Пирамида: V = (1/3)·S_осн·h.
- Конус: V = (1/3)·π·r²·h.
Шар отдельно: V = (4/3)·π·r³.
Пример: пирамида с квадратным основанием со стороной 6 и высотой 10.
- Площадь основания S = 6·6 = 36.
- V = (1/3)·36·10 = (1/3)·360 = 120.
Частые ловушки:
- h — это высота, опущенная перпендикулярно на основание, а не боковое ребро и не апофема. Если дано ребро, высоту ищут через теорему Пифагора.
- Для конуса не путай радиус основания r и образующую l: они связаны как l² = r² + h².
- Не забывай делить на 3 у пирамиды и конуса — это главная ошибка.
Часто в задании дают объём и просят сторону/высоту — тогда подставляй известное в формулу и выражай неизвестное.
Простой способ не путать «делить на 3» или нет: у фигуры с острой вершиной (пирамида, конус) объём в 3 раза меньше «столбика» с тем же основанием и высотой. Поэтому именно у них стоит 1/3.
И ещё: если фигуру разрезают или достраивают, объёмы частей складываются/вычитаются — считай по кускам.