Как решать тригонометрические уравнения и отбирать корни на отрезке в ЕГЭ?

Сначала общие формулы корней (их надо знать):

• sin x = a → x = (−1)ⁿ · arcsin a + π·n, n — целое.
• cos x = a → x = ± arccos a + 2π·n.
• tg x = a → x = arctg a + π·n.

Частные «табличные» случаи проще: sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.

Пункт «б» — отбор корней на отрезке. Самый надёжный способ:

1. Возьми общую формулу корня.
2. Подставляй целые n = ..., −1, 0, 1, 2, ... и смотри, какие x попадают в заданный отрезок.
3. Выписывай только попавшие.

Пример: sin x = 1/2 на отрезке [π; 2π]. Корни x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn.

• При n = 0: π/6 ≈ 0.52 и 5π/6 ≈ 2.62 — оба меньше π ≈ 3.14, не подходят.
• Берём из второй серии добавки. Здесь в [π; 2π] корень синуса = 1/2 не попадает в верхнюю половину... аккуратно: на [π; 2π] sin ≤ 0 в (π; 2π), поэтому решений 1/2 там нет.

Этот пример показывает: отбор спасает от лишних корней. Удобнее всего отбирать по тригонометрической окружности — отметить дугу отрезка и точки решений.