Как решать логарифмические уравнения в ЕГЭ и не терять корни?
С логарифмическими уравнениями постоянная беда: то лишний корень, то наоборот теряю. Не понимаю, зачем там область определения. Как решать логарифмические уравнения в ЕГЭ правильно и зачем проверять ОДЗ?
2 ответа
Сначала определение: logₐ b = c означает aᶜ = b. То есть логарифм — это «в какую степень возвести основание a, чтобы получить b». Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.
Главное правило решения: если logₐ f(x) = logₐ g(x), то f(x) = g(x), но только при условии, что обе части положительны (под логарифмом не может быть ≤ 0).
Алгоритм:
- Выпиши ОДЗ: всё, что под знаком log, должно быть > 0; основание > 0 и ≠ 1.
- Сведи уравнение к виду log = log (или log = число) и «сними» логарифмы.
- Реши уравнение.
- Отбери корни по ОДЗ — это обязательный шаг.
Пример: log₂(x − 1) = 3. По определению x − 1 = 2³ = 8, значит x = 9. ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1. Корень 9 подходит. Ответ x = 9.
Пример с проверкой: log₃(x² − 3) = log₃(2x). Тогда x² − 3 = 2x → x² − 2x − 3 = 0 → x = 3 или x = −1. Проверяем 2x > 0: при x = −1 имеем 2x = −2 < 0 — не подходит. Остаётся x = 3.
Именно поэтому ОДЗ критична: алгебра даёт два корня, но один — посторонний.
Полезные свойства, которые упрощают логарифмы перед решением:
- logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y
- logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y
- logₐ(xⁿ) = n · logₐ x
- logₐ a = 1, logₐ 1 = 0
Сначала сворачивай сумму/разность логарифмов в один, потом снимай. И ОДЗ выписывай до преобразований — после них часть ограничений может «потеряться».