Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в ЕГЭ?
Часто попадается задание, где надо найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Я нахожу критические точки, но забываю про концы отрезка и получаю неверный ответ. Как искать наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке правильно?
2 ответа
Ключевая мысль: на отрезке наибольшее/наименьшее значение достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на его концах. Поэтому концы проверять обязательно.
Алгоритм:
- Найди
f'(x)и решиf'(x) = 0. - Отбери только те корни, что попадают внутрь заданного отрезка [a; b]. Лишние выкидывай.
- Вычисли значение функции в этих точках и в обоих концах a и b.
- Из всех полученных чисел самое большое — наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее.
Пример: f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 3]. f'(x) = 2x − 4 = 0, значит x = 2 (внутри отрезка, подходит).
Считаем:
- f(0) = 1
- f(2) = 4 − 8 + 1 = −3
- f(3) = 9 − 12 + 1 = −2
Наибольшее значение = 1, наименьшее = −3.
Главная ошибка — найти x = 2 и забыть посчитать концы 0 и 3. На отрезке так делать нельзя. А вот если в задаче не отрезок, а вся прямая или луч, то достаточно исследовать критические точки на min/max по смене знака производной.
Запомни как стих: «критические точки внутри + два конца». Все эти значения посчитал — выбрал крайнее.
Если производная на отрезке вообще не обнуляется (нет корней внутри), функция монотонна, и ответ просто на концах: в одном конце наибольшее, в другом наименьшее.