Как найти точку максимума функции в задании 7 ЕГЭ по математике?
В задании 7 профиля просят найти точку максимума функции, а я путаю максимум с минимумом и иногда даю значение функции вместо точки. Как правильно найти точку максимума функции в ЕГЭ через производную? Нужен чёткий порядок действий.
2 ответа
Точка максимума — это x, где функция перестаёт расти и начинает убывать. Алгоритм через производную:
- Найди производную
f'(x). - Приравняй к нулю:
f'(x) = 0, реши уравнение — это «подозрительные» точки. - Определи знаки производной слева и справа от каждой точки.
- Максимум там, где знак меняется с «+» на «−» (функция росла, потом стала убывать). Минимум — наоборот, с «−» на «+».
Пример: f(x) = x³ − 3x. Тогда f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1). Корни x = −1 и x = 1.
Проверяем знаки: при x < −1 производная «+», между −1 и 1 — «−», после 1 — снова «+». Значит, в x = −1 максимум (плюс сменился минусом), в x = 1 минимум.
Две главные ошибки:
- Путают точку максимума (это x = −1) со значением функции в ней (это f(−1) = 2). В задании читай внимательно, что просят: точку или значение.
- Забывают проверить знаки и берут любой корень.
Если просят значение в точке максимума — нашёл точку, подставил в исходную f(x).
Мнемоника по смене знака производной:
- «+» → «−» = «горка», это максимум.
- «−» → «+» = «яма», это минимум.
И всегда отвечай на тот вопрос, который задан. «Точка максимума» — пиши x. «Наибольшее значение» — пиши f(x). Половина ошибок в задании 7 именно из-за этой подмены.