Что такое математическое ожидание простыми словами?
Встретил термин «математическое ожидание», звучит страшно. Что это такое простыми словами и как посчитать матожидание, например, для выигрыша в игре?
2 ответа
Математическое ожидание E[X] — это «среднее значение», которое получится, если повторить опыт очень много раз. По сути — центр тяжести распределения.
Формула: умножаем каждое значение на его вероятность и складываем:
E[X] = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... + xₙ·pₙ
Пример (кубик). Значения 1–6, каждое с вероятностью 1/6.
E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5.
Заметь: 3.5 на кубике не выпадает никогда — ожидание это не «самый частый исход», а среднее на длинной дистанции.
Пример (игра). Лотерея: с вероятностью 0.1 выигрыш 100 рублей, с вероятностью 0.9 — ноль. Билет стоит 15 рублей.
E[выигрыш] = 100·0.1 + 0·0.9 = 10 рублей.
Ожидание 10 < цены 15, значит игра в среднем убыточна — на дистанции теряешь по 5 рублей с билета.
Именно так считают «справедливость» ставок: если матожидание выигрыша меньше цены — играть невыгодно.
Аналогия: матожидание — это как средний балл с учётом «веса» оценок. Редкий, но большой выигрыш вносит мало, если вероятность крошечная. Поэтому в казино матожидание игрока всегда отрицательное — иначе казино бы разорилось. На codechick есть учебник по теорверу, там это разбирается подробнее.