Как раскрывать модуль в уравнении?

Модуль в уравнении раскрывают по определению: выражение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому возникают два случая.

Простейший вид: |выражение| = a (где a > 0) раскрывается так: выражение = a ИЛИ выражение = −a.

Пример: |x − 3| = 5.

• Случай 1: x − 3 = 5 → x = 8.
• Случай 2: x − 3 = −5 → x = −2.

Ответ: x = 8 или x = −2. Проверка: |8 − 3| = 5 ✓, |−2 − 3| = |−5| = 5 ✓.

Геометрически это очевидно: |x − 3| — расстояние от x до 3. Уравнение «расстояние равно 5» имеет два решения: точка на 5 правее (8) и на 5 левее (−2).

Важные частные случаи:

• |выражение| = 0 → один корень (выражение = 0);
• |выражение| = −7 → корней нет, модуль не бывает отрицательным.

Для сложных уравнений (модуль с обеих сторон или с переменной справа) раскрывают по промежуткам, где знак подмодульного выражения постоянен, и обязательно проверяют корни.

Частая ошибка: забывать второй случай и записывать только x = 8. Теряется половина решений.