Как понять, что задача решается бинарным поиском по ответу?

Ключевой признак — монотонность предиката. Заведи булеву функцию check(x) = «можно ли уложиться в ограничение x». Бинпоиск по ответу работает тогда и только тогда, когда check монотонна: существует порог t такой, что check(x) ложно для всех x < t и истинно для всех x >= t (или наоборот). Тогда ты ищешь этот порог — минимальный x, при котором check(x) == true.

В твоей задаче «минимизировать максимальную сумму подотрезка при разбиении на k частей»:

• check(x) = «можно ли разбить массив на не более k подотрезков, у каждого сумма <= x».
• Это считается жадно за O(n): идём слева, копим текущую сумму, как только она превысит x — режем (новый кусок). Считаем число кусков.
• Монотонность очевидна: если при лимите x хватило k кусков, то при большем лимите тем более хватит. Предикат идёт false...false true...true.

Ищем минимальный x. Границы: lo = max(a[i]) (один элемент уже должен влезть), hi = sum(a).

bool check(const vector<long long>& a, long long x, int k) {
    int parts = 1; long long cur = 0;
    for (long long v : a) {
        if (cur + v > x) { parts++; cur = v; }
        else cur += v;
    }
    return parts <= k;
}

long long solve(const vector<long long>& a, int k) {
    long long lo = 0, hi = 0;
    for (long long v : a) { lo = max(lo, v); hi += v; }
    while (lo < hi) {
        long long mid = lo + (hi - lo) / 2;
        if (check(a, mid, k)) hi = mid;
        else lo = mid + 1;
    }
    return lo;
}

Общая сложность O(n log(sum)). Память O(1). Чеклист распознавания: (1) спрашивают min/max некоторой величины; (2) если зафиксировать кандидата-ответ, проверка «годится ли он» сильно проще исходной задачи; (3) проверка монотонна по кандидату. Если все три есть — это бинпоиск по ответу.