Как проверить, делится ли число сразу на 3 и на 5?

«Делится на 3 и на 5» — это and, а не or. Каждая проверка делимости — это остаток равен нулю:

n = 15
if n % 3 == 0 and n % 5 == 0:
    print('делится на оба')

Если использовать or, условие сработает, когда делится хотя бы на одно — отсюда и неправильный результат.

Небольшой бонус: «делится и на 3, и на 5» — это то же самое, что «делится на 15», поэтому можно короче: if n % 15 == 0.