Что такое тавтология и противоречие в логике? Когда выражение всегда истинно?
Встретил слова «тавтология» и «противоречие» в теме про логику. Это про какие-то особенные выражения? Слышал, что бывают формулы, которые всегда истинны независимо от значений переменных — это они и есть? Объясните, пожалуйста, разницу.
2 ответа
Да, ты правильно понял. Это два особых типа выражений:
-
Тавтправо (тавтология) — выражение, которое истинно при ЛЮБЫХ значениях переменных. В таблице истинности у него весь итоговый столбец из единиц. Пример:
A ∨ ¬A— что бы ни было A, либо A, либо его отрицание истинно. Всегда 1. -
Противоречие — выражение, всегда ложное. Столбец из одних нулей. Пример:
A ∧ ¬A— A и его отрицание не могут быть истинны одновременно. Всегда 0. -
А если в столбце есть и нули, и единицы — выражение называется выполнимым (бывает истинным хотя бы иногда).
Как проверить: построй таблицу истинности и посмотри на итоговый столбец.
- Все 1 → тавтология.
- Все 0 → противоречие.
- И то, и то → обычное выполнимое выражение.
Это полезно при упрощении: если кусок выражения оказался тавтологией, его можно заменить на 1, а противоречие — на 0.
Лайфхак: тавтология и противоречие — зеркальные. Если F — тавтология, то ¬F — противоречие, и наоборот. Поэтому если доказал, что что-то всегда истинно, то его отрицание автоматически всегда ложно.